請問股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的均值和方差是怎么推導出來的？

股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的均值和方差是通過對數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)及統(tǒng)計學知識進行推導得到的。

首先，對于對數(shù)正態(tài)分布（Lognormal Distribution），它的密度函數(shù)為：

$$f(x)=frac{1}{xsigmasqrt{2pi}}e^{-frac{(ln{x}-mu)^2}{2sigma^2}}$$

其中，$mu$是對數(shù)正態(tài)分布的期望值，$sigma$是標準差，$x$是隨機變量。

接下來，推導股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的均值和方差：

假設(shè)初始時刻$t_0$，股票價格為$S_{t_0}$。則在時間$t_1$時刻，股票的價格為：

$$S_{t_1}=S_{t_0}e^{(mu-frac{sigma^2}{2})(t_1-t_0)+sigmasqrt{t_1-t_0}epsilon}$$

其中，$epsilon$是服從標準正態(tài)分布的隨機變量。

由上式可知，在$t_1$時刻，股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望和方差分別為：

$$E(S_{t_1})=S_{t_0}e^{mu(t_1-t_0)}$$

$$Var(S_{t_1})=S_{t_0}^2(e^{sigma^2(t_1-t_0)}-1)e^{2mu(t_1-t_0)+sigma^2(t_1-t_0)}$$

因此，股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的均值為$E(S_{t_1})=S_{t_0}e^{mu(t_1-t_0)}$，方差為$Var(S_{t_1})=S_{t_0}^2(e^{sigma^2(t_1-t_0)}-1)e^{2mu(t_1-t_0)+sigma^2(t_1-t_0)}$。

這就是股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的均值和方差的推導過程。